제 22 회 한국수학올림피아드 1차 시험 (중등부)

2008년 5월 24일 ; 제한시간 4시간

문제 18. 어떤 양의 정수 의 양의 약수의 개수는 6개이고, 이 약수들의 합이 이다. 의 값을 구하여라.

풀이 : 를 소수라고 할 때, 의 약수의 개수는 6 개 이므로, 다음의 ㄷ 가지 경우로만 인수분해가 된다.

- - - ①

- - - ②

① 번의 경우, 약수의 합은 이므로, 가 된다.

위 식을 정리하면, 에서 는 소수이므로 7밖에 될 수 없는데, 대입하면 성립하지 않는다.

② 번의 경우, 약수의 합은 이므로 정리하면,

과 으로부터, 3≤b≤7 이 된다.

따라서 가능한 의 값은 3, 5, 7 인데 대입해 보면 3 의 경우만 성립하며, 이 때 c 의 값은 17 이 된다.

따라서 이 된다.