제 22 회 한국수학올림피아드 1차 시험 (중등부)

2008년 5월 24일 ; 제한시간 4시간

문제 20. 원 에 내접하는 정 36각형 에 대하여, 꼭지점 에서 점 에 내접하는 원이 대각선 과 점 에서 접한다. 또 꼭지점 에서 원 에 내접하는 원이 대각선 과 점 에서 접한다. 직선 와 직선 의 교점 에 대하여 ∠ 라고 할 때, 의 값을 구하여라. 단, 이다.

풀이 :

에서의 접선 이라 하고 에서의 접선을 라 하자. 라 하면 ∠ 임을 쉽게 확인 가능하다.

꼭지점 에서 원 에 내접하고 과 접하는 원을 , 꼭지점 에서 원 에 내접하고 과 접하는 원을 라고 하고 이제 ∠ 을 구해보자.

∠, ∠, ∠

마찬가지로 ∠, ∠, ∠

결국 는 한 원위의 네 점 (마주보는 내각의 합이 85˚+ 95˚= 180˚이므로). 그러므로 임을 알 수 있다.

답 : 160