제 22 회 한국수학올림피아드 1차 시험 (중등부)

2008년 5월 24일 ; 제한시간 4시간

문제 7. 원에 내접하는 육각형 에 대하여 이다. 선분 와 의 교점이 , 선분 와 의 교점이  이고

일 때, 을 구하여라.

풀이 :

이고 사각형 는 원에 내접하므로 는 등변사다리꼴이다. 따라서 이고 마찬가지로 사각형 도 등변사다리꼴이므로 이다.

따라서 사각형 는 평행사변형이고 이다.

한편 삼각형 는 로 이등변삼각형이고 삼각형 도 으로 이등변삼각형이고 ∠=∠ (맞꼭지각)이므로 서로 닮음이다. 삼각형 와 삼각형 의 닮음비는 3 : 4 이므로 라 놓으면 삼각형 와 삼각형 에 대하여 각각 스튜어트 정리를 사용하여 식을 만들 수 있다.

즉 ………①

………②

을 소거하기 위하여 4×②-3×① 을 한 뒤, 계산하면 을 알 수 있다.