Implication
Implication (조건명제, 함의) 는 어떤 사실의 인과관계를 기술할 때 많이 쓰이며, 여러 가지의 문장으로 표현된다.
예를 들면, "(만일) P이면 Q이다.", "P는 Q의 충분조건이다.", "Q는 P의 필요조건이다.", "P는 Q를 함의한다." 등은 모두 P → Q의 형태로 기호화될 수 있다.
이러한 조건명제를 증명한다는 것은 P → Q의 결과값이 참임을 보이는 것이다. 다음은 조건명제의 주요 증명방법을 보인다.
(1) 자명(自明)한 증명 : Q가 참임을 보이면 P → Q는 P의 값에 관계없이 참이다.
예) x, y가 실수이고, 이 중 어느 하나가 0 이면 n≥1 에 대하여
(x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ
이다. 이 명제의 증명에 있어 n=1인 경우만 보면 (x + y)¹= x¹+ y¹ 이므로 자명하게 참이며, x, y 중 어느 하나가 0 이라는 가정을 이용할 필요가 없다.
(2) 무위(無爲)의 증명 : P가 거짓임을 보이면 P → Q는 Q의 값에 관계없이 항상 참이다.
예) "n은 자연수이고 3보다 같거나 크면, n²≤ 2ⁿ+ 1 이다." 라는 명제는 n = 0, 1, 2인 경우만 보면 전건이 거짓이 되어 참이 된다.
(3) 직접증명 : P → Q에서 P가 참이라고 가정한 다음, Q가 참이라는 것을 타당한 추론으로 밝힌다.
예) 만일 |x| > |y| 이면 x² > y²이다.
[증명] |x| > |y|라고 하자. 그러면 |x|² > |y|²이다.
모든 수 z에 대하여 |z|²= z²이다.
따라서 x² > y²이다.
(4) 간접증명 - 대우(對偶, contrapositive)증명 : P → Q의 동치식 ∼Q → ∼P를 이용하여 증명한다. 즉, Q가 거짓이라 가정한 후 P가 거짓임을 타당한 추론에 의해 증명한다.
예) n이 양의 정수일 때 n 이 2 가 아닌 소수이면 n 은 홀수이다.
[증명] 이 명제의 대우 "n 이 짝수이면 n = 2 이거나 n 은 소수가 아니다"를 증명하면 된다. 만일 n 이 짝수이면, n = 2p 이고, p 는 양의 정수이며, p < n. 이때 , p =1 이면 n = 2, p >1 이면 n은 p 로 나누어지므로 소수가 아니다. 따라서 주어진 조건명제는 참이다.
(5) 간접증명 - 모순에 의한 증명 : P → Q 에서 P가 참이고 Q가 거짓이면 모순이 생김을 보인다.
예) n 이 양의 정수일 때, n 이 2 가 아닌 소수이면 n은 홀수이다.
[증명] ① n(≠w)이 소수이며 n이 짝수라 가정함
② 가정으로부터 n = 2p( p = 양의 정수 )
③ 만일 p = 1 이면 n = 2,
만일 p > 1 이면 n은 p로 나누어지므로 소수가 아님.
④ 즉, 모순이므로 처음의 조거명제는 참임.
(6) 경우별 증명 : 만일 P → Q 에서 전건 P 가 P1∨P2...∨Pn 의 형태이면 각각의 인자에 대하여 P1 →Q, P2 → Q, ... , Pn → Q 가 참임을 보임으로써 증명할 수 있다. 예를 들면 '|x + y| ≤|x|+|y|'를 증명함에 있어 x, y의 값이 0 혹은 양수인지 음수인지에 따라 네 가지 경우로 나누어 해결한다.
term :
조건명제 (Implication) 진리표 (Truth Table) 논리학 (Logic) 추론 (Inference) 추론규칙 (Inference Rule) 인과율 (Causality)
video :
Rules of Implications 1 : Mark Thorsby : 2012/10/29
Rules of Implications 2 : Mark Thorsby : 2012/10/30