양화명제의 추론

 

기호논리학 : 소광희 지음, 경문사, 1985, Page 244~253

 

41. 보편의 예화와 보편의 일반화

42. 존재의 일반화와 존재의 예화

43. 조건적 증명법에 의한 양화명제 추론의 타당성 증명

44. 정의 5 와 양화의 부정

45. 진리나무의 방법 (Ⅱ)

46. 진리나무의 방법 (Ⅲ) 

47. 술어식과 존재식

48. 존재조건법

49. 통과규칙, 모음형식, 순수형식

 

45. 진리나무의 방법 (Ⅱ)

진리나무의 방법은 양화기호(quantifier)를 포함한 추론에도 적용될 수 있다. 그러기 위해서는 특정화의 개념(전칭의 특정화(US) 와 존재의 특정화(ES))을 잘 이해하고 있어야겠다. US 는 (α) ψα 와 같은 보편양화명제(universal quantifier) 로부터 α 대신에 임의의 상수를 대입한 ψβ를 얻을 수 있게 해준다. 그리고 ES 는 (∃α)ψα 와 같은 존재양화명제(existential quantifier) 로부터 α 대신에 어떤 상수 β를 대입함으로써 ψβ를 얻을 수 있게 해준다. 이때 주의할 것은 β는 새로운 상수이어야 한다는 것, 즉 이전에 이미 나온 바 있는 상수이어서는 안 된다는 것이다.이제 다음의 추론을 예로 하여 quantifier 를 포함하는 추론에 어떻게 나무방법이 적용되는지를 설명하기로 한다. (''와 ''는 술어를 표시)

여기서 '루팡'을 a, '호움즈'를 b 로, 그리고 'x 가 y 를 속일 수 있다'를 Txy 로 하면 위 추론은 다음과 같이 기호화된다.

첫째단계 : 이 추론이 타당함을 보이기 위해서는 그 전제들이 진이면서 결론이 위일 수 없음을 보이면 된다. 즉 결론의 부정과 전제들이 모두 진일 수 없음을 보여 주면 된다. 따라서 먼저 전제를 쓰고 그 밑에 결론의 부정을 쓴 후에 이중부정의 기호(∼∼)를 지운다.

둘째단계 : 명제 3은 b 에 대해서 T 라는 관계를 가진 무엇인가가 있다고 말하고 있으므로, 그 무엇을 c 라고 하면 Tcb 을 얻을 수 있다( ES ).

셋째단계 : 명제 1)은 무엇이든지 그것이 b 에 대해서 T 의 관계를 가지면 a 도 b 에 대해서 그러하다고 말하고 있다. 그러므로 우리는 명제 1)의 x 대신에 임의의 변수를 대입할 수 있다. x 대신 c 를 대입하면 5)와 같다.

넷째단계 : 명제 5)는 가언명제로서 우리는 여기에 추론규칙

○⊃△
╱╲
∼○     △   

를 적용할 수 있다. 따라서,

이제 추론의 타당성은 증명되었다. 이것을 나무로 그려보면,

몇 가지 예를 더 들어보자.

이 추론을 기호화하면,

나무방법을 적용해 보면,

나무방법을 적용하면,

나무방법을 적용해 갈 때, 어느 줄이 '∼(∃x)Px' 또는 '∼(x)Px' 형태의 명제인 경우에는

바꾸어야 한다. 또 하나 주의해야 할 것은 '(x)(Mx⊃H)'와 '(x)Mx⊃H' 와는 서로 다른 명제라는 점이다. 첫 번째 명제에는 US 규칙이 적용되어야 하지만 둘째번 명제에는 '○⊃△' 의 규칙이 적용되어야 한다.

이 추론에 나무방법을 적용하면 다음과 같다.

46. 진리나무의 방법 (Ⅲ) 

위의 예에서 우리는 'x 가 호움즈를 속일 수 있다'는 명제를 Txb 라는 관계명제로 해석해서 다음과 같은 기호화를 얻었다.

그러나 우리는 'x 가 호움즈를 속일 수 있다'는 명제를 Mx 라고 기호화할 수도 있었을 것이다. 왜냐하면 관련된 세 문장에서 T 가 나타날 때마다 b 가 끝에 따라다니고 있어서, Txb 와 Mx 의 차이가 추론의 타당성을 검토하는데 아무런 영향도 미치지 않기 때문이다. 그 예를 Mx 를 사용하여 기호화하고 그 타당성을 나무방법으로 증명하면 아래와 같다.

따라서 앞에서 든 예들은 반드시 관계명제로 해석하지 않고도 그 정당성을 증명할 수 있는 것들이라고 말할 수 있다.
그러나 관계명제로 해석하지 않으면 그 타당성을 증명할 수 없는 추론들도 있다. 이제부터는 그러한 추론들에 나무방법을 적용해 보자. 먼저 다음의 예에서 시작하자.

이 추론은 다음과 같이 기호화될 수 있다.

여기에 나무방법을 적용하면 아래와 같이 된다.

한 예를 더 들어보자.

L이 '사랑한다'의 뜻이라면 이 추론의 전제는,

라는 명제일 것이다. 이 추론의 타당성을 나무방법으로 증명하면 다음과 같다.

quantifier를 특정화할 때에는 그 quantifier가 명제전체를 지배하고 있을 때에 한한다. 따라서 명제 1)에서 직접 (y) 의 특정화를 얻을 수는 없다. 또 명제 2에서는 (y) 도 (∃x) 도 직접 특정화할 수 없다.
몇 가지 예를 더 들어 보자.

이 예에서 원을 'F', 도형을 'G' 로 나타내면 전제는 다음과 같이 기호화된다.

결론의 '원을 그린다'를 H 로, 또 '도형을 그린다'를 K 로 해서 결론을,

로 기호화해서는 이 추론의 정당성을 증명할 수가 없다. 먼저 "y 가 원을 그린다"와 같은 명제를 생각해 보자. "x 가 y 를 그린다"를 'Hxy'로 나타내기로 하면 "y 가 원을 그린다"는 "원이면서 y가 그리는 것이 있다"로 될 것이다. 따라서,

로 기호화된다. "y가 도형을 그린다"도 마찬가지로 해서,

로 기호화된다. 따라서 결론은

로 된다. 이제 앞의 예문의 타당성을 나무방법을 증명해 보면,

'비평가'를 'G' 로 '그림'을 'F' 로 'x 가 y 에 감탄한다'를 'Hxy'라고 하면, '모든 비평가가 y에 감탄한다'는

로 기호화된다. 따라서 전제는

로 될 것이다. 또 'x 가 어떤 그림에 감탄한다'는

로 될 것이고 결국 결론은,

로 기호화될 것이다. 이 추론의 타당성 증명은 독자에게 맡긴다.

'철학자'를 'F' 로 "x 가 y 를 싫어한다"를 'Gxy'로 하면 다음과 같이 기호화된다.

이 추론의 타당성 증명 역시 각자 해보기 바란다.

지금까지 설명한 진리나무의 방법을 정리해 보자. 어떤 추론이 주어졌을 때 그 추론이 타당하다면 그 추론의 진리나무는 유한한 단계를 거쳐서 모든 길이 닫히게 될 것이다. 또 그 추론이 부당할 경우에는 진리나무가 완성되고 난 후에도 닫히지 않은 길이 하나 이상 있게 된다. 그런데 모든 경우에 진리나무가 유한한 단계를 거쳐서 완성되는가? 그렇지는 않다. 다음 예를 보자.

이 명제가 진인지를 판별하기 위한 진리나무는 아래와 같다.

(세심한 독자라면, 지금까지의 진리나무들에서 universal quantifier 명제가 들어 있는 행에는 검토완료의 표시(√)가 없음을 이상하게 생각했을지 모르겠다. 그러나 universal quantifier 문장에는 한번 특정화한 후에는 √표를 하지 않는다. 필요에 따라서 얼마든지 다시 특정화를 할 수도 있기 때문이다.)
위 진리나무는 끝없이 계속되면서 닫히지 않을 것이다. 그리고 나무의 길은 다음의 문장들로 이루어질 것이다.

어쨌든 우리는 이 진리나무가 결코 닫히지 않으리라는 것을 알 수 있다. 따라서 무한히 계속되는 진리나무는 부당한 추론을 나타낸다.
그런데 진리나무의 열린 길은 무엇을 뜻하는가? 앞서 설명한 바와 같이 진리나무의 열린 길은 반례를 나타낸다. 그러면 무한한 나무의 경우 반례가 어떻게 주어지는가? 적어도 나무방법에 의하면

라는 무한히 계속되는 문장들이 유일한 반례라고 할 수 있다. 만일 이 세계가 a 라는 하나의 개체로 되어 있다면 b, c, d… 등의 상수들은 모두 a라는 하나의 개체를 지칭하는 셈이 된다. 따라서 우리는 Laa를 반례로 줄 수도 있다.